逆的定义
$$ 矩阵的逆可以理解为 如果有一个矩阵M，它与它的逆M^{-1}相乘能够得到单位矩阵I $$ $$ 那么矩阵M^{-1}和矩阵M互为逆的关系 $$
矩阵的逆满足于不管是左乘还是右乘它的逆，都能够得到单位矩阵 矩阵的求逆是一个重要的矩阵运算，这个运算只能用于方阵。 相乘时，结果时单位矩阵。用公式表示：
$$ 方阵M的逆，记作M^{-1}，也是一个矩阵，当M与M^{-1} $$
并非所有矩阵都有逆。一个明显的例子是若矩阵的某一行或列上的元素都为零，用任何矩阵乘以该矩阵，结果都是一个零矩阵。 如果一个矩阵有逆矩阵，那么称它为可逆的或非奇异的。如果一个矩阵没有逆矩阵，则称它为不可逆的或奇异矩阵。 奇异矩阵的行列式为零，非奇异矩阵的行列式不为零，所以检测行列式的值式判断矩阵是否可逆的有效方法。 $$ 此外，对于任意可逆矩阵M，当且仅当v = 0 v=0v=0时，v M = 0 vM=0vM=0 $$
计算矩阵的逆
💡 要计算一个矩阵的逆，前提是，它得是一个方阵 💡 如果一个方阵它的行列式为0，那么这个矩阵被称为奇异矩阵，它就没有逆 要求矩阵的逆，必须要保证其行列式不为0
1.计算M的代数余子式矩阵
2.标准伴随矩阵
当得到M矩阵的代数余子式矩阵过后，需要把这个代数余子式矩阵进行一个转置 转置过后的代数余子式矩阵就叫做原矩阵的标准伴随矩阵
3.矩阵求逆
💡 用伴随矩阵去除以M矩阵的行列式，M矩阵的行列式的结果是一个标量值 伴随矩阵和原矩阵阶数相同，用adjM除以行列式的结果，即可得出M的逆
定义检验
矩阵逆的性质
矩阵逆的重要性质：
- 如果M时非奇异矩阵，则该矩阵的逆的逆等于原矩阵$(m^{-1})^{-1}=M$
- 单位矩阵的逆是它本身：$I^{-1}=I$
- 矩阵转置的逆等于它的逆的转置：$（M^T）^{-1}=(M^{-1})^T$
- 矩阵乘积的逆等于矩阵的逆的相反顺序的乘积：$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。这可扩展到多个矩阵的情况：$(M_1M_2…M_{m-1}M_m)^{-1}=M_m^{-1}M_{m-1}^{-1}…M_2^{-1}M_1^{-1}$
正交矩阵和逆
💡 若方阵M是正交的，则当且仅当$M$与它转置$M^T$的乘积等于单位矩阵 当$M$与它转置$M^T$的乘积等于单位矩阵，则M是正交 $M正交⇔MM^T=I$
💡 如果我们能够预先知道某些矩阵是正交的，那么我们就能避免计算这个矩阵的逆 💡 仅拥有旋转或仅拥有镜像的矩阵，它们的行列式为1，如果要撤销其变换，就不用求其逆，应为它是正交的所以将其转置直接可以得到它的逆 💡 正交矩阵满足一些条件 每一行每一列都是一个单位向量，向量长度都为1 (一行或一列中每个分量平方的和再开平方结果为1)
...