矩阵的行列式

方形矩阵M的行列式表示为M。 2 x 2矩阵的行列式如下：

更容易记住的方式，沿对角线和反对角线分别让元素相乘，然后使用对角线元素相乘的结果减去反对角线元素相乘的结果即可。

3 x 3矩阵的行列式如下：

使用容易记录的方式：先并排编写矩阵M的两个副本，然后沿对角线和反对角线分别让元素相乘，最后使用对角线元素相乘的结果的和减去反对角线元素相乘的结果即可。 如下：

如果将3 x 3矩阵的行解释为3个矢量，那么该矩阵的行列式就等价于3个矢量的所谓三重积，如下：

余子式

假设M是具有r行和c列的矩阵。考虑通过从M中删除行i和列j而获得的矩阵。该矩阵显然具有r - 1行和c-1列。这个子矩阵的行列式表示为

被称为M的子矩阵行列式。 例如，子矩阵行列式

是2 x 2矩阵的行列式，它是从3 x 3矩阵M中删除行1和列2的结果。

代数余子式

针对矩阵当中某一个元素所在位置的有符号的余子式矩阵的行列式 也就是说代数余子式是求余子式矩阵的行列式

💡 既然是行列式，最后将会得到一个标量值 它存在正负号问题 符号的决定由这个元素所在的（行+列），去决定行列式的正负值 也就是(-1)^i+j，如果i+j是偶数为正，i+j是奇数为负 给定行和列的方形矩阵M的余子式与相应的子矩阵行列式相同，但子矩阵行列式会交替变负，具体如下：

任意 n x n方阵的行列式

对于任意维数 n x n矩阵的行列式存在若干等价定义。

首先，从矩阵中任意选择一行或一列。 现在对于行或列中的每个元素，将此元素乘以相应的余子式。 对这些乘积求和可得出矩阵的行列式。

例

行列式和代数余子式求和

💡 当某一个变换当中的矩阵，行列式结果为0，可以确定它包含的就是投影 这个变换将不可逆

行列式的性质