矩阵
矩阵的维度和记法
矩阵类似于一个二维数组一样的东西，在计算机当中有些时候可以把二维数组当作矩阵来使用 只不过在数学的概念上是完全不同的 一般的用 NXC 表示一个N行C列的矩阵 矩阵的元素从1开始，每个元素分别用i和j表示它的行数和列数 m[i][j]
矩阵的转置
💡 矩阵的转置，就是将矩阵的行变成矩阵的列，矩阵的列变成矩阵的行 如果将转置过的矩阵，再做一次转置，就变成原来的矩阵 M^TT=M
向量也是一种矩阵
可以将其看作是1行3列的行矩阵，其转置是3行1列的列矩阵
所以有些时候在讨论行向量与列向量，就是以下两种不同的矩阵形式的向量（按照矩阵的概念在描述它）
矩阵和标量的乘法
💡 将矩阵的每一个元素和标量相乘即可 标量无论放在矩阵的前面还是后面，都是同一个结果
矩阵和矩阵的乘法
设A为mp的矩阵，B为pn的矩阵，那么称mn的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=AB ，其中矩阵C中的第i行第j列元素可以表示为：
如下图所示
💡 矩阵的乘法是有顺序的AxB与BxA的结果是不一样的 💡 1、当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘。 2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。 3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。
基本性质
- 乘法结合律： (AB)C=A(BC)．
- 乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC
- 乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB
- 对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）．
- 转置 (AB)T=BTAT．
- 矩阵乘法在以下两种情况下满足交换律。
- AA=AA，A和伴随矩阵相乘满足交换律。 - AE=EA，A和单位矩阵或数量矩阵满足交换律。
通常在3D游戏开发当中，经常会用到向量与矩阵的相乘
当把列向量变为一个行向量，行向量必须放在矩阵的坐标相乘，否则相乘的结果是不一致的，为了保证一致性，列向量处于右边相乘的时候，将左边的矩阵进行一个转置操作过后，才能够得到一个不变分量的一个结果向量
在CG当中有一个函数mul，相乘的函数
💡 这个函数有两种重载方式mul(M,V);和mul(V,M); 为了保证mul的分量结果一致，在函数内部的处理当中，当V在后面的时候，会对M进行一个转置操作，保证其结果与第一种重载的函数的分量一致
单位矩阵
在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，这种矩阵被称为单位矩阵。 它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。 除此以外全都为0。 根据单位矩阵的特点，任何矩阵与单位矩阵相乘都等于本身
二、 逆矩阵
方形矩阵M的逆矩阵，表示为
，当在任意一侧将M乘以
时，其结果都是单位矩阵。
并不是所有矩阵都有逆矩阵。一个明显的例子就是一个行或列填充0的矩阵–无论这个矩阵乘以什么，结果中相应的行或列也将满0。如果某个矩阵具有逆矩阵，则称其为可逆矩阵或非奇异矩阵。不具有逆矩阵的被称为是不可逆矩阵或奇异矩阵。 奇异矩阵的行列式为零，非奇异矩阵的行列式为非零。检查行列式的大小是最常用的可逆性测试，因为这样最简单和最快的。基于经典伴随矩阵，可以计算矩阵的逆矩阵。 2.1 经典伴随矩阵 M的经典伴随是以下余子式的矩阵的转置：
2.2 逆矩阵——正式线性代数规则 为了计算矩阵的逆矩阵，可以将以下经典伴随矩阵除以行列式：
如果行列式为零，则除法是未定义的。 矩阵求逆的重要特性：
- 矩阵的逆矩阵的逆是原始矩阵：
- 单位矩阵是他自己的逆：
任何反射矩阵，或围绕任何轴旋转180度的矩阵是他们自己的逆矩阵。
- 矩阵转置的逆矩阵是逆矩阵逆的转置：
- 矩阵乘积的逆等于矩阵的逆的乘积，注意，逆矩阵的乘法要采用相反的顺序：
- 逆矩阵的行列式是原始局好着呢的行列式的倒数：
三、正交矩阵
3.1 正交矩阵——正式线性代数规则 当且仅当矩阵及其转置的乘积是单位矩阵时，方形矩阵M是正交的，定义如下：
如果矩阵是正交的，则其转置矩阵和逆矩阵是相等的。
四、关于4 x 4其次矩阵
4.1 关于4 x 4平移矩阵 假设w始终为1。标准三维矢量[x,y,z]将始终在四维中表示为[x, y, z, 1]。任何3 x 3变换矩阵都可以通过以下转换公式实现在四维中的表示：
当将[x,y,z,1]形式的四维矢量乘以这种形式的4 x 4 矩阵时，得到与标准3 x 3情况相同的结果，唯一的区别是附加坐标 w = 1，具体如下：
在四维中，可以用矩阵乘法表示平移：
这种矩阵乘法仍然是线性变换。矩阵乘法不能表示四维中的“平移”，四维零矢量将始终变换回四维零矢量。 设R是一个旋转矩阵，设T是平移矩阵，这两个矩阵分别如下：
然后先旋转再平移点v来计算新点
，公式如下:
这里变换的顺序很重要，因为选择使用的是行矢量，所以变换的顺序与矩阵从左到右相乘的顺序一致。 4.2 一般仿射变换 包含平移的仿射变换：
- 围绕不穿过原点的轴旋转
- 围绕不穿过原点的平面进行缩放
- 围绕不穿过原点的平面反射
- 在不穿过原点的平面上进行正交投影
五、关于4 x 4矩阵和透视投影
5.1 针孔相机 针孔相机是一个盒子，一端有一个小孔。光纤进入针孔(因此会聚在一点)，然后撞击盒子的另一端，即投影平面。
如果将点投影到z = d平面上，得到公式如下：
5.2 透视投影矩阵 从四维到三维空间的转换意味着除法，所以可以在 4 x 4矩阵中编码透视投影。 假设原始点有 w = 1。 通过点投影的公式，可以得到以下一个公分母：
所以需要4 x 4矩阵，将乘以一个齐次矢量[x, y, z, 1]产生[x, y, z, z/d]。执行此操作的矩阵是：
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